Леньков родился 17 мая 1943 года в Рассказово Тамбовской области. Азы актерского мастерства постигал в студии при театре им. Моссовета. Закончив обучение в 1965 году, был принят в труппу МАДТ имени Моссовета, где работал до последнего времени. Помимо этого в последние годы занимался преподавательской деятельностью во ВГИКе.
В кино Александр Леньков дебютировал в 1964 году, сыграв в фильме "Непридуманная история". Широкому зрителю он запомнился по фильмам "Маленькая Вера", "Дайте жалобную книгу", "Зимняя вишня", "Ключи от неба" и др.
В 2004 году был награжден орденом Дружбы «за многолетнюю плодотворную деятельность в области культуры и искусства».
